C'est quoi vraiment l'énergie (Partie 3)

Dans cette troisième vidéo de la série sur l'énergie, nous explorons comment l'énergie a acquis un rôle fondamental en physique, au point de se substituer aux équations traditionnelles de Newton. Newton a formulé les trois lois de la dynamique, la loi de gravitation universelle, et a fourni les outils mathématiques, le calcul différentiel. Son approche, où la force sculpte le mouvement, a longtemps dominé. L'apparition des notions d'énergie cinétique (liée à la vitesse) et d'énergie potentielle (liée à la position) a introduit une nouvelle intuition : le mouvement résulte du transfert d'énergie d'une forme à l'autre. Nous nous demandons s'il est possible de retrouver le mouvement en connaissant uniquement les énergies. Pour simplifier, nous supposons l'absence de frottement et que toutes les forces dérivent d'un potentiel. Si la position et la vitesse d'un corps sont connues à un instant donné, sa trajectoire peut être calculée via la deuxième loi de Newton et la loi de force. Par exemple, un projectile à la surface de la Terre suit une trajectoire parabolique, et une masse attachée à un ressort a un mouvement vibratoire décrit par sa loi de force. L'énergie potentielle du ressort est un puits, et le mouvement vibratoire est parfaitement décrit par l'énergie potentielle et cinétique initiales, même si le problème est unidimensionnel. Peut-on généraliser cela à deux ou trois dimensions ? En deux dimensions, la courbe d'énergie potentielle devient une surface. La question est de savoir si la trajectoire peut être calculée en connaissant la position et l'énergie cinétique initiales, en utilisant la conservation de l'énergie mécanique plutôt que la deuxième loi de Newton. La deuxième loi de Newton utilise des vecteurs (objets 3D), offrant une information spatiale complète, tandis que l'énergie est un scalaire (un nombre). Comment ne pas perdre l'information spatiale ? L'énergie potentielle est un scalaire, mais elle est définie pour chaque position de l'espace. En deux dimensions, cela permet de construire une surface montagneuse où l'altitude représente l'énergie potentielle. Le gradient de l'énergie potentielle est la force, ce qui signifie que l'énergie potentielle, bien que scalaire, permet de retrouver une information spatiale. L'énergie cinétique dépend du carré de la vitesse, et le théorème de Pythagore permet de décomposer l'énergie cinétique globale en composantes pour chaque direction. Il est donc possible de retrouver les lois du mouvement à partir de la conservation de l'énergie mécanique. Cependant, il reste le problème des conditions initiales. Connaître l'énergie cinétique initiale permet de calculer l'intensité de la vitesse, mais pas sa direction, ce qui est crucial pour la trajectoire. Pour résoudre ce problème, nous nous tournons vers Fermat et Maupertuis. Fermat a compris que la lumière ne prenait pas le chemin le plus court, mais le chemin le plus rapide, expliquant la réfraction par la différence de vitesse de la lumière dans différents milieux. Maupertuis a généralisé cette idée à la mécanique de Newton avec le principe de moindre action : la trajectoire suivie par un corps est celle qui minimise une "action", qui n'est pas forcément la longueur. L'action de Maupertuis est calculée en multipliant la longueur par l'intensité de la quantité de mouvement. Étant donné que l'énergie mécanique est constante, l'énergie cinétique, la vitesse et la quantité de mouvement sont connues à chaque position. Les trajectoires se déforment pour minimiser cette action, convergeant vers la trajectoire parabolique. Aujourd'hui, on parle plutôt du principe d'action stationnaire. L'exemple d'un projectile montre qu'il peut y avoir deux trajectoires (parabole haute et basse) de même énergie initiale pour atteindre un point d'arrivée. La parabole basse correspond à une action minimale, tandis que la parabole haute est stable mais ne correspond pas à un minimum, plutôt à un point d'équilibre instable (un maximum local ou une ligne de crête). Le principe d'action stationnaire n'est pas explicatif ; il décrit un résultat a posteriori. Euler et Lagrange ont proposé une autre manière de formaliser la deuxième loi de Newton à partir de l'énergie potentielle. Leurs équations, bien que d'apparence complexe, sont équivalentes à la deuxième loi de Newton et sont plus simples à utiliser car elles opèrent directement sur les degrés de liberté du système, les "coordonnées généralisées". Elles éliminent automatiquement les forces internes qui ne travaillent pas, simplifiant les calculs, comme la tension du fil dans le cas d'un pendule. Le lagrangien, la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, est au cœur de ces équations. Hamilton a fait le lien entre l'approche de Maupertuis et celle d'Euler-Lagrange. Il a reformulé l'action de Maupertuis en termes d'énergie cinétique et de durée, en supposant que la durée totale de la trajectoire est connue, plutôt que l'énergie constante. Cette nouvelle définition de l'action, basée sur deux fois l'énergie cinétique multipliée par les intervalles de temps, permet également de retrouver les trajectoires de la chute libre. Les calculs d'Hamilton montrent que les trois formulations (principe d'action stationnaire, équations d'Euler-Lagrange, et mécanique hamiltonienne) sont équivalentes. L'énergie potentielle peut être exprimée en fonction de l'énergie mécanique et cinétique, ce qui révèle l'apparition du lagrangien. La question fondamentale demeure : quelles sont les grandeurs physiques fondamentales ? Force, accélération, énergie potentielle, énergie, masse ? Un crash test de voiture illustre que la déformation peut être expliquée par la force (la force du mur dépasse la capacité de la structure) ou par l'énergie (l'énergie cinétique se transforme en chaleur, déformation, rupture). Les deux explications sont équivalentes, mais l'explication par la force est plus causale, tandis que l'explication énergétique est un bilan a posteriori. L'approche énergétique peut être "aveugle" sur certains phénomènes concrets (comme une force déviant une voiture dans un virage sans changer son énergie cinétique). Les concepts fondamentaux pourraient être la quantité de mouvement et l'énergie potentielle. L'énergie cinétique serait une notion dérivée de la quantité de mouvement. Les équations du mouvement expriment que la variation temporelle de la quantité de mouvement est égale à la variation spatiale de l'énergie potentielle. La force est à la fois la variation temporelle de la quantité de mouvement et la variation spatiale d'un potentiel. On peut donc se demander si la notion de force est vraiment nécessaire si l'on part directement de l'équation complète. La mécanique hamiltonienne, reformulée par Hamilton, met en avant la quantité de mouvement et les coordonnées (qui donnent accès à l'énergie potentielle) comme notions fondamentales. Enfin, Emmy Noether a apporté une réponse profonde à la question de la conservation des grandeurs physiques. Son théorème établit que lorsqu'une grandeur physique se conserve, c'est qu'il existe une symétrie sous-jacente. Par exemple, la conservation de la quantité de mouvement est liée à la symétrie de translation dans l'espace (une expérience donne le même résultat reproduite ailleurs). La conservation du moment cinétique est liée à la symétrie de rotation dans l'espace. La conservation de l'énergie est associée à la symétrie de translation dans le temps (une expérience donne le même résultat reproduite plus tard). Le théorème de Noether repose sur la neutralité de l'espace-temps. Il a permis de comprendre pourquoi l'énergie ne se conserve pas toujours en relativité générale, car le temps n'est pas toujours neutre dans ces équations. La description des trajectoires comme des chemins optimaux sur une surface sculptée par l'énergie potentielle rappelle la relativité générale, où les trajectoires sont des chemins les plus courts dans un espace-temps courbe. La prochaine vidéo abordera l'équation E=MC2.