The Unsolved Lollipop Problem - Numberphile

Une « sucette mathématique » est un cercle avec un bâton perpendiculaire qui, prolongé, traverserait le centre du cercle. Un bâton s'étend à l'infini. Une sucette divise une surface en deux régions : l'intérieur du cercle et tout le reste. Avec deux sucettes, on peut obtenir 10 régions, ce qui est le maximum. Pour y parvenir, les cercles se chevauchent légèrement, et le bâton de chaque sucette coupe l'autre cercle deux fois. Le bâton de chaque sucette doit aussi traverser le bâton de l'autre sucette. La formule d'Euler montre que le nombre de régions est maximisé par le nombre d'intersections entre les lignes des sucettes. Il y a trois types d'intersections : cercles entre eux (deux points), bâton et cercle (deux points), et bâtons entre eux (un point). Pour deux sucettes, on a 2 intersections cercle-cercle, 2x2=4 intersections bâton-cercle, et 1 intersection bâton-bâton, soit un total de 7 intersections. La formule est : nombre de pièces = nombre d'intersections + nombre de bâtons (n) + 1. Donc, pour deux sucettes, c'est 7 + 2 + 1 = 10 pièces. Avec trois sucettes, l'objectif est que chaque paire de sucettes se croise de cette manière optimale (7 intersections par paire). Cela donne 3 paires, soit 3 * 7 = 21 intersections. Le bâton de la troisième sucette doit être légèrement décentré pour ne pas croiser l'intersection des deux premiers bâtons, maximisant ainsi les régions. En utilisant la formule, avec n=3, on obtient 21 + 3 + 1 = 25 régions. Le problème devient très difficile avec quatre sucettes. L'idéal serait 6 paires d'intersections, soit 6 * 7 = 42 intersections. Avec la formule 42 + 4 + 1, on obtiendrait 47 régions. Ce problème a été posé lors du réveillon de Noël à une liste de diffusion. Initialement, 43 régions ont été trouvées en perturbant légèrement une des trois sucettes existantes. Puis, un autre contributeur a atteint 44, puis 45 régions, et a prouvé que c'était le maximum possible, malgré le potentiel théorique de 47. Pour atteindre 45 régions, il a modifié les trois sucettes existantes, en rendant l'une beaucoup plus grande (deux fois la taille des autres) et en la magnifiant par un facteur de 100. Les bords des cercles géants ressemblaient alors à des lignes droites. La quatrième sucette, très petite et noire, a été placée au centre du "désordre" créé par les trois autres, là où les bâtons se rejoignent. Elle était si minuscule qu'elle était invisible sur le dessin agrandi. Les deux régions manquantes par rapport aux 47 théoriques proviennent du fait que le bâton de la quatrième sucette ne croise pas le cercle vert géant, seulement son bâton à des kilomètres de distance. Pour cinq sucettes, les estimations actuelles suggèrent 71 ou 72 régions, mais la réponse exacte reste inconnue. Des recherches sont en cours. Le narrateur présente ensuite un produit sponsorisé : un engrenage Metmo, disponible en laiton et acier inoxydable. Chaque engrenage double le couple, nécessitant 16 384 tours de l'engrenage supérieur pour un seul tour de l'inférieur.