What Is Infinity, Actually? (beyond the pop-sci headlines)

Pendant plus de 2 000 ans, l'humanité a soutenu que l'infini n'était que potentiel, ce qui signifie qu'on peut toujours ajouter un élément de plus, mais jamais réellement « arriver » à la fin. Aristote et Gauss partageaient cette idée. Puis Cantor est apparu, proposant une hérésie qui continue de faire débat : il a traité les infinis comme des objets complets en eux-mêmes, que l'on peut saisir. Non seulement cette idée était jugée folle, mais il a prouvé qu'il existait strictement plus d'infinis que quiconque n'avait imaginé. Kronecker a qualifié Cantor de "corrupteur de la jeunesse", et Poincaré a décrit son travail comme une "maladie". Cantor est décédé dans un sanatorium, ce qui soulève la question de la controverse entourant l'infini. Pour comprendre cela, il faut distinguer l'infinité potentielle de l'infinité actuelle. L'infinité potentielle est un processus de comptage continu (1, 2, 3, 4, etc.) sans fin, où l'on n'atteint jamais une collection complète, mais on sait qu'il y a toujours quelque chose de plus à faire. En revanche, une infinité actuelle affirme que toute la collection existe comme un objet unique, que l'on peut manipuler, examiner ses propriétés, la comparer à d'autres collections et poser des questions difficiles sur sa taille. L'hérésie de Cantor a été d'insister sur cette dernière idée, affirmant que l'on pouvait faire des mathématiques avec cet objet concret. Sa première découverte fut singulière : il y a autant de nombres pairs que de nombres naturels. En mathématiques, la "taille" d'un ensemble est appelée cardinalité. Deux ensembles ont la même taille si l'on peut les apparier exactement, comme des enfants en maternelle se tenant les petits doigts. Il existe un appariement bijectif, c'est-à-dire une correspondance un à un, entre les nombres pairs et les nombres naturels. Il en va de même pour les entiers et les nombres rationnels, ce qui est absurde car les rationnels sont denses sur la droite réelle. Cantor a trouvé une bijection entre N (les nombres naturels) et Q (les nombres rationnels). La méthode exacte de ces appariements est complexe, mais elle a permis à Cantor de déclarer que tous ces ensembles sont "dénombrablement infinis", c'est-à-dire de la même taille. Pour éviter toute ambiguïté, il a introduit le symbole "aleph zéro" (ℵ₀) au lieu du symbole de l'infini habituel. Pourquoi un nouveau symbole si tous les infinis sont égaux ? La réponse est que tous les infinis ne sont pas égaux, même si intuitivement, ils le semblent. Si l'on ajoute 157 à l'infini, on obtient l'infini. De même, si l'on soustrait 157 de l'infini, on obtient l'infini. La propriété définissante de l'infini est que l'on peut en retirer une quantité finie sans que sa taille ne change. Cantor a ensuite prouvé que les nombres réels (R) ne peuvent pas être appariés avec les nombres naturels. Ainsi, R n'est pas dénombrablement infini. L'argument est une preuve par contradiction utilisant la "diagonalisation". En supposant que l'on puisse lister tous les nombres réels, on peut construire un nouveau nombre qui ne figure pas sur cette liste, prouvant ainsi que la liste initiale était incomplète. La cardinalité des réels est notée 2 puissance aleph zéro (2^ℵ₀). Cela nous amène à l'hypothèse du continu : est-ce que 2^ℵ₀ est égal à aleph un (ℵ₁)? Chaque nombre peut être exprimé en binaire, y compris les nombres réels, qui peuvent être vus comme une séquence infinie de zéros et de uns. La collection de toutes ces fonctions a une cardinalité de 2^ℵ₀. Le "2" n'est pas fondamental ici ; la base n'importe pas. On pourrait avoir 3^ℵ₀, 7^ℵ₀, ou même ℵ₀^ℵ₀, la cardinalité resterait la même que celle des réels. Une découverte troublante est que la droite réelle contient exactement autant de points que le plan complexe (R²), et R^100 a la même cardinalité que R. Cantor lui-même a écrit à Dedekind : "Je le vois, mais je ne le crois pas." Comment obtenir plus d'infinis ? Cantor, avec Hartog, a découvert au moins deux mécanismes pour créer des infinis de plus en plus grands. Le premier est la "construction de l'ensemble des parties" (power set construction). C'est ce qui a été utilisé implicitement pour passer des nombres naturels aux réels, montrant que la cardinalité est 2^ℵ₀. Il s'agit de compter tous les sous-ensembles possibles d'un ensemble. Le nombre de sous-ensembles d'un ensemble est égal à 2^ℵ₀. Le deuxième mécanisme est simplement de définir ℵ₁. Après ℵ₀, le prochain infini possible est appelé ℵ₁, puis ℵ₂, et ainsi de suite. On peut se demander s'il n'y a pas un continuum d'infinis plutôt que des infinis discrets. C'est une question délicate que Cantor lui-même a posée : le premier pas de la "machine 2" (ℵ₁) est-il égal au premier pas de la "machine 1" (2^ℵ₀) ? C'est précisément l'hypothèse du continu. L'hypothèse du continu a été le premier problème de la célèbre liste de Hilbert de 1900. Gödel a montré qu'il est impossible de prouver l'hypothèse du continu à partir des axiomes standards de la théorie des ensembles (ZFC). En 1963, Cohen a montré qu'on ne peut pas non plus la réfuter. Cela signifie que l'hypothèse du continu est indépendante de ZFC, une idée surprenante qui mérite une exploration approfondie. Le théorème de Gödel repose implicitement sur l'infini car il faut modéliser l'arithmétique de Peano. Bien que ces concepts soient extrêmement abstraits, ils sont aussi paradoxalement concrets. L'infini est le point de rencontre de l'abstrait et du concret. Chaque construction est spécifique, finie et vérifiable. L'argument diagonal de Cantor peut tenir sur une serviette, et la construction de Hartog est une recette explicite. Les méthodes de Cohen sont des techniques que l'on peut exécuter. Les objets discutés sont infinis, mais le raisonnement à leur sujet est entièrement fini, voire mécanique. Cependant, les "finitistes" ne sont pas d'accord. Ils rejettent entièrement l'infini. Pour un finitiste, ℵ₀ n'est pas un objet mathématique réel, mais au mieux une fiction utile, au pire un symbole sans référent. Hilbert a flirté avec cette position. Une position encore plus forte est l'ultra-finitisme, qui considère que certains nombres super grands, comme 157^157^157, sont suspects car aucun processus physique ne pourrait les instancier. La plupart des mathématiciens en activité trouvent l'infini indispensable. Par exemple, Hugh Woodin, un des plus importants théoriciens des ensembles vivants, pense que l'hypothèse du continu a une réponse définie, mais que ZFC est trop faible pour la détecter, nécessitant des axiomes plus forts (axiomes des grands cardinaux). Pour aller plus loin, les "catégories infinies" offrent une perspective encore plus complexe, où l'infini est abordé au niveau le plus fondamental. On peut également se demander pourquoi on ne peut pas diviser par zéro. En géométrie projective, utilisée par Roger Penrose dans sa théorie des twisteurs, la division par zéro est possible et a un sens, en unissant les nombres complexes avec un "point à l'infini". L'infini permet de rendre l'énoncé "1/0" parfaitement défini, ce qui montre son utilité. En résumé, l'ancienne vision de l'infini était celle d'un processus potentiel sans fin. Cantor et Dedekind ont introduit l'infini actuel, une collection complète que l'on peut manipuler mathématiquement. On peut comparer la taille de ces ensembles infinis, comme les nombres naturels et les nombres réels, et montrer qu'ils ne sont pas égaux. Deux "machines" permettent de générer des infinis de cardinalités différentes : la construction de l'ensemble des parties et la méthode de Hartog. La relation entre ces deux machines à leur premier niveau est l'hypothèse du continu. Tous ces concepts sont sujets au débat avec les finitistes et ultra-finitistes, qui remettent en question l'existence même des objets mathématiques discutés. Ce débat sur les fondations des mathématiques est révélateur de leur nature profonde et parfois déroutante.