The Biggest Gaps Between Primes - Numberphile

La discussion porte sur les nombres premiers et les écarts entre eux. Brady est familier avec le concept des nombres premiers en tant que « blocs de construction fondamentaux » des nombres, divisibles uniquement par un et eux-mêmes. Tous les autres nombres sont formés en multipliant des nombres premiers. Il existe une infinité de nombres premiers, ce qui peut être prouvé. Le sujet principal est la taille des écarts entre les nombres premiers. Alors que l'on a souvent discuté des « nombres premiers jumeaux » (avec un petit écart), la question posée ici est l'inverse : quelle est la taille maximale d'un écart entre deux nombres premiers ? Brady pense que l'écart maximal continue de croître à mesure que l'on avance sur la ligne numérique, ce qui signifie qu'il est illimité. L'interlocuteur précise qu'il ne peut être infini, car l'infini n'est pas un nombre, mais il peut être « de n'importe quelle taille ». Il est possible de prouver cette affirmation, et il existe des preuves constructives et non constructives en mathématiques. Une preuve constructive permet de construire un exemple, tandis qu'une preuve non constructive affirme l'existence sans montrer comment le trouver. L'objectif est de construire un écart donné, par exemple un écart de taille 10. Pour éviter la confusion, on définit l'écart comme le nombre de non-premiers (ou nombres composés) entre deux nombres premiers. Un écart de 10 signifierait 10 nombres composés consécutifs. L'interlocuteur propose une méthode pour construire une liste de "n" nombres composés consécutifs. Pour un "n" donné, il prend (n+1)!, puis ajoute des nombres de 2 à (n+1) à ce factoriel. Par exemple, pour un écart de 9 nombres composés, il calcule (9+1)! = 10! = 3 628 800. Ensuite, il construit la liste : 10! + 2 10! + 3 ... 10! + (9+1) = 10! + 10 Chacun de ces nombres est garanti d'être composé. Par exemple, 10! + 2 est divisible par 2 (car 10! contient un facteur 2, et 2 est divisible par 2). De même, 10! + 3 est divisible par 3, et ainsi de suite jusqu'à 10! + 10 qui est divisible par 10. Cette méthode garantit une liste de "n" nombres composés consécutifs. Cette construction prouve que l'on peut trouver un écart de n'importe quelle taille désirée entre les nombres premiers. Cependant, les nombres générés par cette méthode sont très grands. La question se pose alors de savoir comment trouver le plus petit exemple d'un tel écart. L'interlocuteur admet que sa méthode ne produit pas nécessairement le plus petit exemple, mais garantit l'existence d'un tel écart. Il montre une démonstration où une liste de 9 nombres composés consécutifs peut être trouvée bien plus tôt, à partir de 114, ce qui est bien inférieur aux nombres générés par la méthode factorielle. En conclusion, la méthode (n+1)! + 2, ..., (n+1)! + (n+1) garantit une liste de "n" nombres non premiers consécutifs, prouvant que les écarts entre les nombres premiers peuvent être de n'importe quelle taille. Cette compréhension est importante pour la recherche de nombres premiers, car de grands écarts pourraient compliquer la recherche d'un nombre premier après un point donné.