Cutting Moons (Dissecting Lunes) - Numberphile

L'énigme du jour, inspirée de Martin Gardner, concerne une découpe de lune en papier, techniquement appelée un « loon ». Si l'on ne fait aucune coupe, on a une pièce. Avec une seule coupe, on obtient trois pièces. L'objectif est de maximiser le nombre de pièces obtenues pour un nombre donné de coupes. Pour illustrer, considérons d'abord une crêpe ou une pizza. Une coupe donne deux morceaux, deux coupes en donnent quatre. Trois coupes, si elles traversent toutes les précédentes, donnent sept morceaux, pas huit. Chaque nouvelle coupe doit croiser toutes les coupes existantes pour maximiser les pièces. La quatrième coupe ajoute quatre morceaux, portant le total à onze. La séquence est 1, 2, 4, 7, 11, 16, etc., connue sous le nom de "séquence de la crêpe". La formule pour le nombre de pièces est n+1 choisissez 2 + 1, ce qui correspond aux nombres triangulaires plus un. Pour une lune, la situation est un peu différente. Avec deux coupes, on peut obtenir six pièces. Le secret est que les intersections doivent toujours se trouver à l'intérieur de la surface de la lune. Pour maximiser les pièces, on peut imaginer qu'une partie de la lune est une crêpe. On s'assure que toutes les coupes se croisent pour maximiser les pièces à l'intérieur de cette zone circulaire, puis elles continuent à traverser l'autre bord de la lune. Il est plus facile de dessiner les coupes d'abord, puis d'enrouler la lune autour d'elles. Avec trois coupes, on obtient sept pièces dans la "zone crêpe" (n+1 choisissez 2 + 1, pour n=3, 4 choisissez 2 + 1 = 7). Ensuite, chaque coupe supplémentaire traversant l'autre côté de la lune ajoute des pièces. Pour trois coupes, on avait sept pièces, puis on en ajoute trois de plus, ce qui donne un total de dix pièces. Pour quatre coupes, on a onze pièces dans la zone "crêpe", et on en ajoute quatre de plus, pour un total de quinze. La séquence pour la lune est : 0 coupe -> 1 pièce, 1 coupe -> 3 pièces, 2 coupes -> 6 pièces, 3 coupes -> 10 pièces, 4 coupes -> 15 pièces. La formule pour la lune est n+2 choisissez 2, soit (n+2)*(n+1)/2. Cette solution est optimale et peut être prouvée en utilisant la formule d'Euler pour les graphes planaires : Régions = Arêtes - Sommets + 1. Les sommets incluent les intersections des coupes à l'intérieur de la lune (n choisissez 2), les points où les coupes croisent les bords de la lune (4n), et les "cornes" de la lune (2). Le nombre d'arêtes est également calculé en tenant compte des différentes sections créées par les coupes. En appliquant la formule d'Euler, on confirme que le nombre maximal de pièces est bien celui trouvé. L'histoire mentionne également les "arbres lunaires", descendants de graines qui ont voyagé sur la lune.