Math's Foundations Are Up in the Air

Harvey Friedman discute des fondements des mathématiques, suggérant qu'ils sont plus mystérieux que jamais. Il compare cela aux fondements de la physique, où les chercheurs en sciences fondamentales sont perçus comme éloignés des applications pratiques comme la construction de fusées. Friedman explique qu'après 60 ans de travail, il a développé un nouveau sujet mathématique appelé "maximalité imbriquée". Ce concept combine deux idées fondamentales des mathématiques, l'intégration (embedding) et la maximalité, qui sont rarement mélangées. Le contexte de son travail est l'ordre des nombres rationnels, sans même l'addition ou la multiplication. Il commence par analyser une théorie finie de l'intégration finie pour le principe de maximalité. Ensuite, il introduit des applications infinies très simples, comme l'identité sur des intervalles infinis, et montre que cela mène à des résultats qui "explosent" au-delà de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (ZFC). Le livre qu'il rédige, "Maximalité Imbriquée", vise à définir ce sujet de manière accessible, en présentant d'abord la théorie finie (30-40 pages d'analyse combinatoire), puis en introduisant des extensions infinies simples. La question clé est de savoir si l'utilisation de ces intégrations pour le principe de maximalité est possible dans ce cadre infini. Friedman a prouvé que la réponse est indépendante de ZFC, ce qui est le point central de son livre. Cela force la communauté mathématique à considérer sérieusement les fondements. L'un des théorèmes, le théorème d'utilisabilité de l'extension externe, ne peut être prouvé qu'avec des cardinaux bien au-delà de ZFC.