TREE(3) Makes Graham's Number Look Tiny

La notion du nombre "tree three" est d'une taille monstrueuse, à tel point qu'il est difficile de prouver son existence même avec des systèmes mathématiques puissants comme l'arithmétique de Peano. Il est si grand qu'on ne pourrait pas prouver son existence même avec deux mille milliards de feuilles de papier. Comparé au nombre de Graham, "tree three" est minuscule. "Tree three" est défini à partir d'une série infinie d'arbres finis à trois couleurs. Un théorème de Kruskal stipule que dans toute séquence infinie d'arbres finis à trois couleurs, l'un des arbres est toujours intégré dans un arbre ultérieur. L'orateur a découvert que la preuve de ce théorème de Kruskal implique l'examen d'un nombre incroyablement grand de séquences infinies d'arbres, et qu'il ne peut être prouvé dans les systèmes attendus. Cela révèle une "micro-incomplétude" et suggère que des ensembles indénombrables sont nécessaires pour prouver le théorème de Kruskal. "Tree three" quantifie le nombre d'étapes nécessaires pour trouver un arbre intégré dans un autre, à condition que le i-ième arbre ait au plus i sommets et trois couleurs. Il représente une connexion profonde entre l'infini et le fini, montrant que les nombres finis extrêmement grands peuvent approximer la plus petite infinité. L'orateur propose même une perspective "finitiste", suggérant que toutes les idées mathématiques, y compris les grands cardinaux, peuvent être représentées sous des formes finies ou même ultra-finies, comme des pixels sur un écran d'ordinateur.