Squaring the Triangle - Numberphile

Le problème de transformer un triangle équilatéral en carré en le découpant et en réorganisant les morceaux est un défi classique. Une solution bien connue utilise quatre morceaux. Le problème, posé par Henry Dudeney en 1902, était de savoir si cela pouvait être fait avec moins de morceaux. Pendant 120 ans, la réponse est restée inconnue jusqu'à ce que des chercheurs démontrent récemment que quatre morceaux est le minimum. Dudeney avait une chronique hebdomadaire d'énigmes. Les lecteurs envoyaient leurs solutions. Pour ce problème, la plupart ont proposé des solutions à cinq morceaux. Une méthode standard consiste à couper le triangle en deux pour former un rectangle, puis à transformer ce rectangle en carré. Par exemple, pour un rectangle d'aire 1, on mesure une largeur de 1 en haut à droite, puis on coupe vers le coin inférieur droit. Ensuite, on mesure une largeur de 1 en bas à gauche et on fait une coupe verticale. En faisant glisser les pièces, on forme un carré. Cette technique permet de transformer n'importe quel polygone en un autre de même aire en passant par un rectangle intermédiaire de largeur 1. Cependant, un lecteur, Charles McElroy, a envoyé une solution à quatre pièces qui ne suit pas les techniques classiques. Ses mesures sont non triviales. Il a remporté un prix d'une demi-guinée (environ 50 livres actuelles). La question demeure si Dudeney connaissait déjà cette solution ou s'il s'agissait d'un problème ouvert. Il est prouvé qu'il est impossible de le faire en deux morceaux. Si l'on coupe un triangle en deux, l'un des morceaux doit contenir un côté entier du triangle, qui est plus long que la diagonale du carré final, rendant impossible son ajustement. Le défi des trois morceaux a été abordé par Kamata et Uehara. C'est un problème difficile car il y a une infinité de façons de couper un triangle en trois. Ils ont catégorisé les possibilités de découpe du triangle en cinq types et celles du carré en 44 types. Ils ont défini chaque morceau par une séquence de longueurs d'arêtes et d'angles, cherchant une correspondance entre les morceaux du triangle et ceux du carré. Ils n'ont trouvé aucune correspondance, prouvant qu'il n'existe pas de solution en trois pièces. La solution à quatre pièces est donc minimale. Cette preuve suppose des découpes droites (pas courbes) et l'interdiction de retourner les pièces. Les auteurs pensent que leurs théorèmes pourraient être étendus pour exclure aussi les découpes courbes et le retournement. Le problème reste donc partiellement ouvert. La solution de McElroy a une particularité : elle ne nécessite pas de retourner les pièces. Dudeney en était si impressionné qu'il a créé un modèle en bois avec des charnières en laiton, permettant de passer du carré au triangle et inversement par simple pivotement. C'est la seule solution connue à ce jour, et elle pourrait être unique.