Big News in Polyhedra - Numberphile

Nous avons d'importantes nouvelles du monde des polyèdres, avec la classification complète des polyèdres nobles. Pour comprendre, il faut partir du cube, qui incarne les idées principales des polyèdres les plus symétriques. Toutes ses faces sont identiques et interchangeables, de même pour les arêtes et les sommets. Ces critères, ajoutés à la symétrie des faces elles-mêmes (qui doivent être des polygones réguliers), définissent un polyèdre régulier. Les Grecs de l'Antiquité ont listé les cinq solides de Platon : le cube, l'octaèdre, le tétraèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre. Ces polyèdres sont faits d'un seul type de polygone régulier, avec des coins et des arêtes identiques. Au XVIIe siècle, Johannes Kepler a découvert un sixième type en remettant en question la définition d'un polygone régulier. Un carré est régulier parce que ses côtés et ses angles sont égaux. Kepler a proposé le pentagramme, dont les cinq côtés et angles sont égaux, même si les arêtes se croisent. Si l'on autorise ces intersections, on ouvre la porte à de nouvelles formes. Kepler a ainsi trouvé le petit dodécaèdre étoilé, fait de 12 pentagrammes, et le grand dodécaèdre étoilé, également composé de 12 pentagrammes, mais avec trois pentagrammes par coin au lieu de cinq. Plus tard, Louis Poinsot a découvert deux autres formes, le grand dodécaèdre (fait de 12 pentagones qui se coupent) et le grand icosaèdre (fait de 20 triangles équilatéraux qui se coupent). Ces découvertes ont élargi le concept de polyèdre régulier, permettant aux faces de se couper. Nous avons donc maintenant neuf polyèdres réguliers. Passons aux polyèdres nobles. Pour ceux-ci, nous conservons l'idée que tous les coins et toutes les faces doivent être identiques, mais nous ne demandons plus que les arêtes soient identiques ni que les faces soient des polygones réguliers. C'est ce qui définit un polyèdre noble. Ces polyèdres nobles sont des espèces mystérieuses étudiées depuis le XIXe siècle. Un exemple est un tétraèdre irrégulier, fait de quatre triangles non équilatéraux. Il respecte les critères nobles car chaque face est identique et interchangeable, et chaque coin est identique. Les arêtes ne sont pas identiques et les faces ne sont pas des polygones réguliers. Ce type de tétraèdre "bancal", appelé disphénoïde, est une famille infinie de polyèdres nobles, réalisable avec n'importe quel triangle aigu. Edmund Hess et Max Brückner, au XIXe siècle, ont découvert une deuxième classe infinie de polyèdres nobles, plus complexes. En partant d'un prisme pentagonal (qui n'est pas noble car ses faces sont différentes), on peut utiliser un processus appelé "facettage". Le facettage consiste à conserver les sommets originaux, mais à remplacer les faces et les arêtes pour créer une nouvelle forme. En facettant un prisme pentagonal, on obtient un polyèdre noble appelé stéphanoïde, qui ressemble à une couronne. Les faces sont des formes complexes, comme des papillons ou des nœuds papillon. Il existe une infinité de stéphanoïdes, car on peut partir de n'importe quel prisme ou antiprisme (comme l'antiprisme pentagonal, fait de deux pentagones reliés par des triangles équilatéraux). Hess et Brückner ont aussi trouvé des exemples individuels. L'un d'eux, découvert par Hess, ressemble à un dodécaèdre, mais ses faces sont des triangles concaves qui se coupent, créant des motifs illusoires. Un autre, découvert par Brückner, est une stellation de l'icosaèdre, avec 20 faces en forme de nonogrammes. Brückner a réalisé d'incroyables modèles en papier de ces formes, malheureusement disparus. La découverte de ces formes impliquait des calculs mathématiques complexes, mais le processus exact reste un mystère. Certains polyèdres nobles peuvent avoir des trous. Les faces peuvent être des hexagones irréguliers auto-intersectants, ou des pentagones auto-intersectants. Pendant longtemps, on n'a pas su s'il existait une limite au nombre de ces formes. La question est restée ouverte pendant plus de cent ans. En 2008, Robert Webb, créateur du logiciel Stellar (un excellent outil pour visualiser les polyèdres), a découvert le premier polyèdre noble en un siècle. Il l'a trouvé en facettant un cube adouci (snub cube), un solide archimédien connu depuis longtemps. Le cube adouci n'est pas noble (il a des faces carrées et triangulaires), mais Webb a réussi à en créer un polyèdre noble en réorganisant ses faces et arêtes. Les faces de cette nouvelle forme sont complexes, ressemblant à des poissons rouges ou des pentagones auto-intersectants. Sa découverte a relancé l'intérêt pour les polyèdres nobles. En 2020, Ulrich Miklovite a découvert une autre forme étonnante, également à l'aide du logiciel Stellar. Ses faces sont des hexagones auto-intersectants. Récemment, un jeune mathématicien américain de 17 ans, Connor Hill, a fourni une classification complète des polyèdres nobles. Nous connaissons maintenant la liste complète : les deux familles infinies (les tétraèdres disphénoïdes et tous les stéphanoïdes), plus exactement 146 autres exemples. Parmi ces 146, 85 sont des découvertes entièrement nouvelles de Hill. Il a prouvé que cette liste est exhaustive. C'est une réalisation fantastique, car ces polyèdres étaient considérés comme très mystérieux. Les 146 exemples individuels comprennent les découvertes antérieures de Webb, Brückner, etc. Il n'y a pas d'explication simple pour le nombre 146, ni pour l'absence d'une troisième famille infinie. Le travail de Hill, qui n'est pas encore publié, repose sur des mathématiques sophistiquées pour déterminer les configurations possibles de sommets. Parmi ses découvertes, Hill a identifié le "premier noble kipiscocoidal hecatonoahedron" comme le plus beau, avec 120 faces en pentagones irréguliers auto-intersectants. Une autre forme intrigante présente une symétrie de rotation mais pas de réflexion. Hill a également découvert des polyèdres "fissurés", qui possèdent deux sommets coïncidant exactement en un seul point. Il n'y en a que deux parmi tous les polyèdres nobles. Dans un polyèdre noble, tous les sommets sont identiques, donc dans ces cas, tous les sommets "s'embrassent" de cette manière. Cette classification complète est un pas énorme dans la compréhension des polyèdres nobles.