The Infinite Twin Prime Problem

Le 17 avril 2013, un email contenant une preuve de 50 pages sur un problème non résolu en mathématiques, la conjecture des nombres premiers jumeaux, a été envoyé aux *Annals of Mathematics*. L'auteur était un inconnu qui avait travaillé dans un restaurant Subway. Les éditeurs s'attendaient à trouver une erreur rapidement, mais n'en ont pas trouvé. Ils ont alors réalisé qu'il s'agissait d'une avancée majeure. La conjecture des nombres premiers jumeaux stipule qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers séparés par un seul nombre, comme 11 et 13. Bien que les nombres premiers et les jumeaux deviennent plus rares à mesure que l'on avance sur la ligne numérique, les observations jusqu'à présent continuent de révéler des jumeaux. Cependant, cette observation empirique ne constitue pas une preuve mathématique. Il y a environ 100 ans, les mathématiciens Hardy et Littlewood ont développé une méthode pour estimer le nombre de nombres premiers jumeaux. En se basant sur le théorème des nombres premiers, qui estime la probabilité qu'un grand nombre N soit premier à environ 1/ln(N), ils ont estimé que la probabilité qu'un couple (N, N+2) soit des nombres premiers jumeaux est d'environ 1/ln(N)². En intégrant cette expression, ils ont obtenu une estimation remarquablement précise du nombre de nombres premiers jumeaux jusqu'à une valeur donnée. Cependant, cette méthode n'est qu'une heuristique et ne garantit pas l'infinitude des nombres premiers jumeaux. Une preuve rigoureuse était nécessaire. Viggo Brun, un mathématicien norvégien, a été l'un des premiers à s'y attaquer. Il a adapté le crible d'Ératosthène, un outil vieux de 2000 ans pour compter les nombres premiers. Le crible d'Ératosthène permet d'identifier les nombres premiers en éliminant les multiples des nombres premiers successifs. Brun a cherché à adapter ce crible pour les nombres premiers jumeaux. Dans le crible ordinaire, un nombre premier P élimine environ un nombre sur P. Pour le crible des nombres premiers jumeaux, il faut éliminer les nombres N où N est divisible par P, et les nombres N où N+2 est divisible par P. Cela signifie qu'un nombre premier P élimine deux nombres. Cette modification a conduit à une formule où le numérateur de tous les termes après 2 est multiplié par deux. Cependant, le problème avec cette approche est la gestion des erreurs d'arrondi. Chaque étape du crible introduit des erreurs. Pour K nombres premiers de criblage, il y a environ 2^(K-1) termes d'erreur pour les nombres premiers normaux, mais pour les nombres premiers jumeaux, l'erreur croît environ comme 4^K, ce qui est beaucoup plus rapide. Ces termes d'erreur finissent par dominer le terme principal, rendant la preuve de l'infinitude des nombres premiers jumeaux impossible avec cette méthode. La preuve exige que la borne inférieure soit toujours positive et croissante, ce que le crible ne pouvait pas garantir. Brun a réalisé qu'en affaiblissant le crible, c'est-à-dire en ne criblant pas jusqu'à la racine carrée de X mais jusqu'à une puissance inférieure (par exemple, N^(1/10)), il pouvait mieux contrôler les termes d'erreur. Cela lui a permis de prouver qu'il existe une infinité de paires de nombres séparés par deux, où chaque nombre a au plus neuf facteurs premiers. Ses techniques ont été améliorées, réduisant le nombre de facteurs premiers à trois. En 1973, le mathématicien chinois Chen Jingrun a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers P tels que P+2 a au plus deux facteurs premiers. C'était le plus proche que l'on puisse être de la conjecture des nombres premiers jumeaux sans la prouver. Une autre approche consistait à chercher le plus petit écart entre deux nombres premiers consécutifs. En moyenne, cet écart est d'environ ln(N). L'objectif était de prouver que les nombres premiers peuvent être plus proches que cet écart moyen. En 1988, l'écart avait été réduit à environ un quart de l'écart moyen. En 2005, Goldston, Pintz et Yildirim (GPY) ont prouvé un résultat spectaculaire : on peut rendre la fraction de l'écart moyen aussi petite que l'on veut, ce qui signifie que les nombres premiers se rapprochent arbitrairement souvent. Cependant, la méthode GPY n'a pas réussi à prouver l'existence d'un écart borné absolu entre deux nombres premiers. La communauté mathématique s'est réunie en 2005 pour tenter de franchir cette barrière, mais la conclusion fut que c'était impossible. Yitang Zhang, un mathématicien alors peu connu, a travaillé en isolement sur ce problème. Après avoir obtenu son doctorat aux États-Unis, il a eu du mal à trouver un emploi et a vécu dans sa voiture, travaillant à temps partiel, notamment chez Subway. En 1999, il a obtenu un poste de chargé de cours à l'Université du New Hampshire, lui permettant de se consacrer pleinement aux mathématiques. La méthode GPY consistait à utiliser un "pochoir" avec des "trous" (par exemple, aux positions 0, 2 et 6 pour un diamètre de 6). En déplaçant ce pochoir le long de la ligne numérique et en comptant le nombre de nombres premiers capturés, on pouvait prouver l'existence de paires de nombres premiers dans un écart borné si le pochoir capturait constamment deux nombres premiers. Pour contourner l'impossibilité de vérifier l'infini, ils ont utilisé une machine de moyenne pondérée. En attribuant des poids aux positions de départ du pochoir (en fonction de la probabilité de trouver des nombres premiers), ils ont pu augmenter la moyenne pondérée du nombre de nombres premiers capturés. Cependant, leurs calculs ont montré que la moyenne pondérée maximale qu'ils pouvaient obtenir était deux fois thêta, où thêta est le niveau de distribution, une mesure de la taille des progressions arithmétiques pour lesquelles la distribution des nombres premiers est fiable. À l'époque, thêta était connu pour être au maximum 1/2. Ainsi, leur moyenne ne pouvait jamais dépasser 1. S'ils pouvaient dépasser 1/2, même légèrement (par exemple, 0,5000001), ils pourraient prouver des écarts bornés. En 2012, Zhang, épuisé, a eu une illumination. Il a réalisé qu'en se concentrant sur une classe spéciale de pas de progressions arithmétiques (celles construites uniquement à partir de petits facteurs premiers) et en réorganisant les termes d'erreur, il pouvait les faire s'annuler en grande partie. Cela lui a permis de dépasser la barrière de 1/2 d'une minuscule fraction, 1/584. Le 17 avril 2013, Zhang a envoyé sa preuve aux *Annals of Mathematics*. Les experts, qui pensaient le problème impossible, ont été stupéfaits. La preuve de Zhang démontrait l'existence d'un écart borné de 70 millions entre nombres premiers. Cette nouvelle a provoqué un choc et une admiration dans la communauté mathématique. Après la découverte de Zhang, d'autres mathématiciens ont retravaillé sa méthode pour l'optimiser. Terence Tao a dirigé le groupe en ligne Polymath, qui a affiné la méthode, réduisant l'écart à 4 680. Parallèlement, James Maynard, un jeune post-doctorant, a développé une approche complètement différente. Son conseiller l'avait découragé de travailler sur ce problème, mais Maynard a persisté. En quelques mois, il a réussi à réduire l'écart à 600. Sa méthode a également prouvé qu'il pouvait obtenir trois nombres premiers dans une fenêtre bornée, et que l'approche n'était pas limitée par l'exposant 1/2. Le 1/2 était une "fausse piste", une "chimère". La méthode de Maynard a montré que la moyenne pouvait croître suffisamment avec un nombre suffisant de "slots" dans le pochoir. Terry Tao a eu une approche similaire et, en reconnaissant l'importance du travail de Maynard, l'a encouragé à le poursuivre. Début 2014, Maynard a rejoint le groupe Polymath. Le record mondial actuel est l'existence d'une infinité de paires de nombres premiers ne différant pas de plus de 246. En 2022, James Maynard a reçu la Médaille Fields pour ses travaux sur les écarts entre nombres premiers. Cette histoire rappelle celle du "mile en quatre minutes", considéré comme impossible avant que Roger Bannister ne le batte en 1954, ouvrant la voie à de nombreux autres coureurs. La connaissance que quelque chose est possible peut libérer de nouvelles avancées. Les mathématiciens ont trouvé des moyens de réduire encore l'écart, mais ces résultats sont conditionnels. Par exemple, si la conjecture d'Elliot-Halberstam est vraie (qui suppose une distribution uniforme des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, ou que le niveau de distribution peut être aussi grand que 1), l'écart tomberait à 12. Une version encore plus forte de cette conjecture ramènerait l'écart à 6. Mais sans aucune hypothèse, le record de 246 demeure. La conjecture des nombres premiers jumeaux est un défi majeur. Peut-être que le fait de ne pas savoir avec certitude si elle est impossible est une bonne chose, car cela encourage la recherche de nouvelles méthodes et idées.