2.685 is (almost) everywhere - Numberphile

Je vais réaliser un tour de magie en utilisant les nombres irrationnels. Un nombre irrationnel est un nombre dont la représentation décimale ne se termine jamais et ne présente aucune séquence répétitive. J'ai demandé à Britney de choisir un nombre irrationnel parmi une liste, sans me le révéler. J'ai ensuite écrit quelque chose sur une feuille de papier, sans connaître son choix. Britney a choisi la racine cubique de deux. Nous allons utiliser deux outils mathématiques : les fractions continues et la moyenne géométrique. Une fraction continue représente un nombre comme une somme d'un entier et l'inverse d'un autre nombre, qui est lui-même représenté de la même manière, et ainsi de suite. Pour la racine cubique de deux, on soustrait la partie entière (1), puis on prend l'inverse de la partie décimale. On répète ce processus, ce qui génère une séquence d'entiers. Comme le nombre est irrationnel, cette séquence est infinie. Pour simplifier l'écriture, on représente cette suite d'entiers. Ensuite, nous allons calculer la moyenne géométrique de cette suite d'entiers. La moyenne arithmétique est la somme des nombres divisée par leur quantité. La moyenne géométrique, elle, remplace l'addition par la multiplication et la division par la racine correspondante (racine carrée pour deux nombres, cubique pour trois, etc.). Pour une suite infinie, on calcule la moyenne géométrique des premiers termes, puis des suivants, et on observe si ces valeurs convergent vers un nombre. J'ai calculé la fraction continue de la racine cubique de deux sur 367 termes à l'aide d'un ordinateur. Ensuite, j'ai calculé la moyenne géométrique de cette longue liste. Le résultat obtenu est 2,685. Étonnamment, ce nombre correspond exactement à ce que j'avais écrit sur la feuille de papier au début du tour. Ce n'est pas un hasard. Quel que soit le nombre irrationnel choisi, la moyenne géométrique de sa fraction continue donne presque toujours la même réponse : environ 2,685. Ce nombre est appelé la constante de Khinchine. La constante de Khinchine est un nombre peu connu mais fascinant. La probabilité de l'obtenir en choisissant un nombre réel au hasard est de 100 %. Cependant, il existe des exceptions notables. Les nombres rationnels (fractions) n'ont pas de fraction continue infinie et ne donnent donc pas la constante de Khinchine. De même, certains nombres irrationnels célèbres comme le nombre d'or (phi) ou la racine carrée de deux (et toutes les irrationnelles quadratiques) ne la donnent pas, car leur fraction continue présente une structure répétitive. Le nombre e est également une exception. Curieusement, bien que nous sachions que 100 % des nombres réels produisent cette constante, nous ne connaissons pas individuellement de nombres irrationnels dont il a été prouvé qu'ils la donnent. Les nombres de la liste initiale, comme la racine cubique de deux, semblent la produire statistiquement, mais il n'existe pas encore de preuve mathématique formelle pour chacun d'eux. La valeur de la constante de Khinchine elle-même est connue grâce à des arguments probabilistes abstraits.